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Método de Integración por Sustitución o cambio de variable para Matemáticas de 2º de Bachillerato

MÉTODO DE INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O CAMBIO DE VARIABLE:

En ocasiones la integral que se nos propone por causa de que la expresión del integrando aparece "en bloque" no la encontramos en la TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS. Algunos de estos casos se pueden solucionar realizando un "cambio de variable".

Para aplicar el método:

  1. Llamamos "t" al bloque.
  2. Diferenciamos el cambio de variable, para poder cambiar el "dx" por el "dt" correspondiente (derivamos cada miembro de la expresión del cambio por separado y multiplicamos por el diferencial de la variable derivada).
  3. Se supone que con esto, si el método funciona bien, podemos resolver la integral si aparece en la TABLA DE INTEGRALES INMEDIATAS.

Lo más complicado es el punto 2, por lo que añadimos dos ejemplos de este punto:

Por ejemplo, si consideramos que el cambio adecuado es: t = 2x + 4

Nos queda:

 Notar como hemos derivado cada miembro por separado y despejamos dx para poder cambiarlo por su expresión en dt, para que en la integral haya coherencia entre la variable que integramos y el diferencial.

 Si el cambio fuera:

 

En general el método funciona bien en estos tres casos, de los que proponemos algunos ejemplos:

A) Cuando la expresión del integrando “en bloque” hace que no nos aparezca en la tabla de inmediatas, llamar t al bloque nos puede resolver la integral).

 Aquí haríamos t=2x-3 o incluso t2=2x-3

 B) Cuando en el cuerpo de la integral aparece una expresión y su derivada, el juego de llamar t a la expresión nos la simplifica y vemos la solución al transformarse en inmediata.

 Aquí haríamos t=x2-3

C) Un caso bastante más complicado: cuando tenemos que recurrir a la sustitución para transformar expresiones más complejas que aparecen en la integral.

Aquí haríamos t2=x-1, y además hay que tener en cuenta que x=t2+1

 

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