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Receta para estudiar Crecimiento, Máximos y mínimos, Curvatura (Concavidad y Convexidad) y Puntos de Inflexión

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS EN EL ESTUDIO Y ANÁLISIS DE FUNCIONES (CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS. CURVATURA (CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD) Y PUNTOS DE INFLEXIÓN)

Un concepto importante (Interpretación geométrica de la derivada):

“La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto”

CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO (MONOTONÍA):

Si f(x) es creciente en x0 → f’(x0) > 0

Si f(x) es decreciente en x0 → f’(x0) < 0

Trabajando en funciones, PARA ESTUDIAR EL CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO POR INTERVALOS:

1.- Se estudia el dominio.

2.- Se iguala la primera derivada a cero, estos puntos (serán posibles Máximos o mínimos -puntos singulares-puntos donde el crecimiento varía-) y además los que nos hayan dado como no perteneciente al dominio (RECORDAR QUE AQUÍ SEGURAMENTE HABRÁN ASÍNTOTAS VERTICALES) se colocan en la recta real ordenados, de tal modo que definen intervalos.

3.- Tomamos un punto de cada uno de estos intervalos así construidos y lo sustituímos en la primera derivada, si ese punto es creciente o decreciente lo es todo el intervalo al que pertenece.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS:

1.- Si se ha hecho la anterior, si se ha estudiado el CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO está muy claro, ya que en un máximo o mínimo:

Si f(x) presenta en x0 un máximo o un mínimo → f’(x0) = 0.

Y antes del máximo la función crece y después decrece. En el mínimo lo contrario. Con lo que con el estudio anterior de los intervalos se ven claramente los máximos y mínimos

2.- Si no se ha estudiado el crecimiento y decrecimiento:

Se iguala la primera derivada a cero: esos puntos serán posibles máximos o mínimos.

Se sustituyen en la segunda derivada:

si f(x) presenta en x0 un máximo ↔ f’(x0) = 0. y f’’(x0) < 0.

si f(x) presenta en x0 un mínimo  ↔ f’(x0) = 0. y f’’(x0) > 0.

Si la f’’(x0) = 0, podría entonces ser un Punto de Inflexión

Recordar que para determinar el máximo o mínimo hay que dar su componente x (que es la que calculamos igualando la derivada a cero) y la componente y que hay que hallarla sustituyendo la x en la función (sin derivar).

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD (CURVATURA)

Si f(x) es convexa en x0 <=> f’’(x0) < 0  

Si f(x) es cóncava en x0 <=> f’’(x0) > 0.

Trabajando en funciones, PARA ESTUDIAR LA CURVATURA POR INTERVALOS:

1.- Se estudia el dominio.

2.- Se iguala la segunda derivada a cero, estos puntos (serán posibles Puntos de inflexión –puntos donde la curvatura varía ) y además los que nos hayan dado como no perteneciente al dominio (RECORDAR QUE AQUÍ SEGURAMENTE HABRÁN ASÍNTOTAS VERTICALES) se colocan en la recta real ordenados, de tal modo que definen intervalos en los que la curvatura se mantiene constante.

3.- Tomamos un punto de cada uno de estos intervalos así construidos y lo sustituímos en la segunda derivada, si en ese punto la función es cóncava o cónvexa, lo es todo el intervalo al que pertenece.

PUNTOS DE INFLEXIÓN:

Si f’’(x0) = 0., y además f’’’(x0) > 0., la función presenta en x0 un P.I. convexo-cóncavo.

Si f’’(x0) = 0., y además f’’’(x0) < 0., la función presenta en x0 un P.I. cóncavo- convexo.

Se iguala la segunda derivada a cero y se sustituye en la tercera, si es distinto de cero, hay un punto de inflexión con las características que se mencionan , si al sustituir en la 3ª derivada da cero(*) (IR A CRITERIO DEFINITIVO PARA DISTINGUIR MÁXIMOS, MÍNIMOS Y PUNTOS DE INFLEXIÓN), podría ser un Máximo o mínimo. Si no se va a calcular la tercera derivada (en ocasiones es demasiado complicado), la confirmación o no de que sea punto de inflexión la da la globalidad de la representación gráfica.

(*)Si f’(a) = f’’(a) = f’’’(a) = f n-1(a) = 0  y   f n(a) ≠ 0

Si n es impar: P.I. con tangente horizontal.

Si n es par:   si fn (a) < 0 → máx relativo (convexa)

                   si fn (a) > 0 → mín relativo (cóncava)

 

 

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