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Ejercicio Resuelto F2P296 de obtención de Fuerzas Gravitatorias Vectorialmente

EJERCICIO RESUELTO DE OBTENCIÓN DE FUERZAS GRAVITATORIAS VECTORIALMENTE:

El ejercicio que se propone a continuación corresponde a una distribución de tres masas, podría resultar interesante ver primero uno más sencillo, correspondiente a una distribución de sólo dos masas, si se desea, EJERCICIO FUERZAS GRAVITATORIAS VECTORIALMENTE CON DOS MASAS

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EJERCICIO RESUELTO F2P296:

   En una distribución de masas, como la que se propone, donde m1=1 kg se encuentra situada en el punto (0,0) de un sistema de ejes cartesianos, m2=2 kg está situada en el punto (2,3) y m3=3 kg en el punto (4,1). Hallar la fuerza a la que está sometida la masa m2 debida a la presencia de m1 y m3.

RESOLUCIÓN:

   La situación es la que se propone en el siguiente dibujo. Queremos la fuerza total que sufre m2 , consecuencia de la que m1 hace sobre m2, (F12) y de la que m3 hace sobre m2 (F32) que están representadas en el diagrama.

 La Fórmula que vamos a usar es que corresponde a la Ley de Newton de Gravitación universal, en su expresión vectorial:

   “La fuerza de atracción gravitatoria entre dos cuerpos es directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que las separa; la línea de acción de la fuerza es la recta que une los dos cuerpos; la constante de proporcionalidad es G, que es universal e igual a 6,67·10-11)”

Expresando esto mediante una fórmula que contemple las características vectoriales de la distribución de masas, para poder obtener una expresión vectorial de la fuerza, según el sistema de referencia elegido:

Con la fórmula enmarcada es con la que vamos a trabajar.

Donde:

El signo negativo indica que se trata de una fuerza atractiva (de sentido contrario al vector r12)

Los vectores están indicados en “negrita”.

El vector F12 es la fuerza que m1 hace sobre m2 (aplicada sobre m2 y dirigida hacia m1)

El vector r12 es el vector de posición que sale de m1 y termina en m2

Notar que el signo negativo es más que necesario ya que el vector de posición r12 y el vector fuerza F12 tienen la misma dirección y sentidos opuestos. De hecho estamos utilizando el vector de posición para darle características vectoriales a la fuerza.

Con |r12| queremos indicar el módulo del vector r12

El vector u12 es un vector unitario en la dirección y sentido del vector r12. Este vector unitario (de módulo igual a la unidad) se obtiene dividiendo el vector de posición por su módulo.

G=6,67·10-11 N·m2/kg2 es la constante de gravitación universal

 

Tendremos en cuenta que:

 

 Para lo que necesitamos los vectores r12 (sale de 1 y termina en 2); r32 (sale de 3 y termina en 2) y sus módulos:

Entonces:

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