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Comparación de Infinitos para el Cálculo de Límites

COMPARACIÓN DE INFINITOS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES:

  La comparación de infinitos es una estrategia, un razonamiento que nos ayuda a resolver indeterminaciones sobre todo del tipo (∞/∞), pero tambien se puede utilizar en los casos (∞-∞).

  Decimos que f(x) es un infinito si:

 

  Por ello:

 

  Decimos que f(x) es un infinito de orden superior a g(x) si

 

  Recordemos que:

 

 Siendo k un número cualquiera.

  Lo anterior, aunque resulte un poco atrevido, se puede asimilar a:

 

  Lo que pretendemos hacer es conocer qué tipo de funciones tienden más rápidamente a infinito respecto de otras; las que tiendan más rápidamente a infinito serán infinitos de orden superior.

  En la tabla, los valores correspondientes para una función exponencial: y=2x ; una función potencial: y=x2; y una logarítmica: y=log2x, para situarnos:

  Se han tomado valores que sean sencillos de obtener

  Se observa muy bien como la exponencial crece más rápidamente que la potencial a su vez que la logarítmica, que crece muy despacio.

  Por ello, es como si:

 

  Que aunque no tiene mucho rigor (más bien ninguno) eso de infinitos más grandes y más pequeños, se entiende muy bien desde un punto de vista “operativo-didáctico”.

 En conclusión y por lo anterior:

  • Cualquier función exponencial de base mayor que uno es un infinito de orden superior a cualquier función potencial.
  • Cualquier función potencial es un infinito de orden superior a cualquier función logarítmica.

Notar que los polinomios son funciones potenciales en las que se considera sólo el término de mayor grado (que es el que en el infinito marca la tendencia)

 

Dentro de cada una de ellas, no es difícil ver que:

  • Dadas dos potencias de x la que tenga mayor exponente será un infinito de orden superior. En los polinomios se considera el término de mayor grado.
  • Dadas dos funciones exponenciales con bases mayores que uno, la de mayor base es un infinito de orden superior.
  • Dadas dos funciones logarítmicas, la de MENOR base será un infinito de orden superior.

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