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Infinitésimos Equivalentes para el Cálculo de Límites

INFINITÉSIMOS EQUIVALENTES PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES:

  Es una estrategia alternativa al CÁLCULO DE LÍMITES MEDIANTE LA REGLA DE L'HÔPITAL.

  Básicamente es el reflejo de las tendencias de funciones infinitésimas en un punto expresado en una regla que nos ayuda a calcular límites, ya que con las tablas de equivalencia de infinitésimos podemos sustituir unas expresiones por otras equivalentes, cuando aparecen multiplicando o dividiendo estas expresiones; pero antes debemos aclarar algunas cosas:

  Infinitésimos son funciones cuyo límite en x=a es igual a cero; O lo que es lo mismo: f(x) es un infinitésimo en x=a si:

    "por ello a veces decimos que un infinitésimo es un algo infinitamente pequeño"

  Son infinitésimos en un entorno de x=0, las funciones:

 

   Ya que para todas ellas:

 

   Están muy claros estos límites, basta con sustituir a lo básico:

 

   Por otro lado: dos funciones son equivalentes en un entorno de x=a si

 

   Según esto, dos infinitésimos son equivalentes en un entorno de x=a si:

 

  Por ello, decimos que por ejemplo: f(x)= sen x y g(x) = x, son infinitésimos equivalentes en x=0,

  Ya que:

 

  No tenemos por qué calcularlo por L´Hôpital, ya que si representamos la función (dando valores o utilizando WIRIS, vemos que ésa es la tendencia de la función en un entorno de x=0)

 

  Se ve perfectamente que la combinación de funciones tiende a uno.

 

  Con todo ello, se elaboran tablas de equivalencia de infinitésimos en entornos determinados, de las cuales una de las más utilizadas:

  En un entorno de x=0

Del mismo modo, si f(x) es un infinitésimo en un entorno de x=0:

Tabla que amplía muchísimo las posibilidades de cálculo de límites usando los infinitésimos equivalentes.

En un entorno de x=1

 

  Se puede sustituir un infinitésimo por su equivalente cuando se encuentran multiplicando o dividiendo. Cuando están sumando o restando no, la expresión en general no resulta equivalente.

 

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