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Interpretación geométrica de la Derivada de una Función en un Punto

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO:

   El concepto de DERIVADA aparece en el contexto del ANÁLISIS DE FUNCIONES, sobre todo como una relación entre las variaciones verticales de una función, respecto de las variaciones horizontales, en la búsqueda de la inclinación (pendiente) de una función.

La derivada de una función se expresa incorporando a la función f(x), una prima: f'(x)

La DEFINICION DE DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO:

Notar a la vista de la fórmula que básicamente es el incremento vertical [f(a+h) - f(a)] dividido entre el incremento horizontal [h] (lo que nos da idea de la inclinación de la función) cuando el incremento horizontal (h) es infinitamente pequeño (tiende a cero).

Durante todo el tiempo debemos pensar que DERIVADA=VARIACIÓN; es la variación de y que le corresponde a la x; nos indica como varía la y según va variando la x.

Debemos caer en la cuenta de que pretendemos obtener una nueva operación para la función f(x), en el punto de abscisa x=a, al que le corresponde una imagen, una altura, f(a), que se puede ver en el dibujo.

El punto de abscisa x=a+h, es un punto alejado de a, una distancia h (le añadimos al punto x=a un incremento de x, un Δx, el h que aparece en la fórmula); al que a su vez le corresponde una altura, una imagen f(a+h), que se puede ver igualmente en el dibujo.

Prescindiendo del límite de momento, en el numerador nos encontramos con [f(a+h) - f(a)], que es una distancia, un incremento de altura (Δy) de la función, correspondiente al incremento de x  (Δx=h), (buscarlo en el dibujo).

 

Con lo que:

Recordar que la tangente de un ángulo es igual al cateto opuesto dividido entre el cateto contiguo, con lo que podemos asociar la expresión Δx/Δy a la tangente del ángulo que forma la recta secante (recta verde, desde P hasta Q) con la horizontal, con lo que:

Donde β es el ángulo que forma la recta secante (recta verde desde P hasta Q) con la horizontal.

Cuando incorporamos el límite, cuando hacemos que h tienda a cero, esto es, hacemos que h sea infinitamente pequeño, el punto P se acerca al punto Q, de tal modo que en el límite se encuentran infinitamente cerca, con lo que esta recta secante deja de ser secante y se convierte en tangente (recta roja) a la curva por el punto x=a, ya que si h es super pequeño, los puntos a y a+h están infinitamente cerca, obteniéndose la siguiente situación:

Con lo que:

ya que una vez incorporado el límite cuando Δx→0, el ángulo β que forma la recta secante (recta verde) con la horizontal se convierte en el ángulo α, que forma la recta tangente (recta roja) con la horizontal.

Concluyendo:

"La derivada de una función en un punto x=a, coincide con la tangente del ángulo que forma la recta tangente a la curva en ese punto x=a con la horizontal."

Teniendo en cuenta que la tangente del ángulo que forma una recta con la horizontal es la pendiente de esa recta:

"La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto."

 

Esta conclusión tiene multitud de APLICACIONES:

Ya que si una función es creciente en un punto, la recta tangente tiene pendiente positiva, es decir, su derivada es positiva.

Del mismo modo, si una función es decreciente en un punto, su recta tangente tiene pendiente negativa, su derivada es negativa.

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Y lo más que se usa: si una función en un punto tiene un máximo o mínimo, su recta tangente es horizontal, con lo que no tiene pendiente, o lo que es lo mismo su derivada vale cero.

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