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Demostración del Teorema del Coseno

     El teorema del coseno quiere ser para los triángulos oblicuángulos (cualquier triángulo) lo mismo que el Teorema de Pitágoras para los triángulos rectángulos.

     Se trata de encontrar una relación entre los lados, que como veremos aparecen al igual que en el teorema de Pitágoras al cuadrado, aunque en el teorema del coseno se incluye un nuevo término, que podría considerarse la desviación necesaria a causa de que no trabajamos con triángulos rectángulos.

     Partimos del triángulo general que se muestra al que trazamos la altura correspondiente al lado b.

 

     Como los dos triángulos que se forman son rectángulos, del de la izquierda:

 

      Mirando la base:

 

     Aplicando el teorema de Pitágoras a los dos triángulos y teniendo en cuenta lo anterior:

     Del triángulo de la derecha:

 

     Del triángulo de la izquierda:

 

     Restando las dos expresiones anteriores:

 

     Que despejando queda la primera expresión del TEOREMA DEL COSENO

 

     Si hubiéramos partido de un triángulo con los nombres cambiados hubiésemos obtenido las otras dos fórmulas del teorema del coseno. En cualquier caso es sencillo ver lo que nos daría. Por ello las fórmulas que definen el teorema del coseno son:

 

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