OPERACIONES CON VECTORES:

QUÉ ES UN VECTOR:

Es un segmento orientado, que se dibuja mediante una flecha; se suele representar con una flechita encima de la letra que lo nombra; o cuando el editor de texto que utilizamos no permite insertarle esta flechita, se suele representar en negrita:

Cuando lo dibujamos está claro la orientación que tiene (dirección), el tamaño de la flecha (módulo) e incluso hacia donde apunta (sentido –del que caben dos posibilidades dentro de la misma dirección: hacia un lado o hacia el otro-).

Respecto a la dirección, se consideran que direcciones paralelas son la misma.

Cuando nos referimos a él analíticamente, necesitamos un sistema de referencia que el habitual es el cartesiano en dos dimensiones (con eje X –horizontal- eje Y –vertical). Si utilizamos tres dimensiones incorporamos el eje Z.

Respecto a este sistema de referencia, si trabajamos con las tres dimensiones, el vector tiene sus componentes:

Donde i, j y k son vectores unitarios en cada uno de los ejes (X, Y, Z) que nos indican cada una de las componentes. Si trabajamos en dos dimensiones, sencillamente la tercera componente no estará.

OPERACIONES CON VECTORES:

SUMA O RESTA DE VECTORES:

Para sumar o restar vectores analíticamente sencillamente sumamos o restamos componente a componente:

EJEMPLO:

 

Para sumar Vectores o Fuerzas Gráficamente, consultar OPERACIONES CON FUERZAS O VECTORES GRÁFICAMENTE

PRODUCTO DE VECTORES:

PRODUCTO ESCALAR:

El resultado del producto escalar de dos vectores [ a · b ] es un ESCALAR (un número) que se obtiene de la definición del producto escalar:

Donde:

Precisamente, por estar definido en función del coseno del ángulo que forman los dos vectores, EL PRODUCTO ESCALAR ES CERO CUANDO LOS VECTORES SON PERPENDICULARES.

Fórmula que es útil cuando conocemos los módulos de los vectores y el ángulo que forman.

Cuando tenemos los vectores expresados en componentes, se comprueba que la definición coincide con esta otra expresión para el producto escalar, conocida como EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO ESCALAR:

PRODUCTO VECTORIAL:

El producto vectorial de dos vectores [ u x v ] es un VECTOR, que tiene las siguientes características:

Dirección: perpendicular al plano que forman los dos vectores u y v

Sentido: determinado por “la regla de la mano derecha” (llevamos el vector u sobre el vector v arrastrándolo con la palma de la mano por el camino más corto y el dedo gordo nos da el sentido del producto vectorial –notar como sólo hay dos posibilidades de sentido dentro de la dirección perpendicular al plano formado por los dos vectores u y v.

Módulo:

 

Precisamente, por estar definido en función del seno del ángulo que forman los dos vectores, EL PRODUCTO VECTORIAL ES CERO CUANDO LOS VECTORES SON PARALELOS.

Cuando tenemos los vectores expresados en componentes, se comprueba que la definición coincide con esta otra expresión para el producto vectorial, utilizando DETERMINANTES, conocida como EXPRESIÓN ANALÍTICA DEL PRODUCTO VECTORIAL:

MÓDULO DE UN VECTOR:

Conocidas sus componentes, el módulo de un vector, lo que mide la flecha:

En tres dimensiones:

En dos dimensiones:

VECTOR PERPENDICULAR A OTRO:

En tres dimensiones, se intercambian dos de sus componentes, una de ellas además de signo y la otra se iguala a cero:

Con esta jugada, se puede ver que el producto escalar es cero, concluyendo que son perpendiculares:

En dos dimensiones, se intercambian las componentes y una de ellas de signo:

ÁNGULO QUE FORMAN DOS VECTORES:

Igualando las dos expresiones del producto escalar, podemos despejar el coseno del ángulo, y así obtener el ángulo:

 

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